という質問に、（１）簡単な説明　（２）詳しい定義を答えるとしたら、どうします？

（１）　西洋風漁師鍋
（２）　複数の魚介（丸ごとの白身魚、海老、イカ、ムール貝など）を魚のアラ出汁で煮込みサフランで色と香りをつけたもの。

で、実は(2)については、ブイヤベースの本場のマルセイユにはブイヤベース憲章があって、以下の通り（wiki便利！）
１．地中海の岩礁に住む魚類（根魚）の小魚（クエ、マハタ、メバル、キジハタ、カサゴ、アイナメ、オコゼ、クロソイ、ムラソイなど）を5種類以上入れる（小魚は独特の臭みがあり、その風味を楽しむ）
２．アンコウも入れる（ただし日本では夏場のアンコウは禁漁となっている）
３．鯛、平目、オマール海老、ムール貝類、蛸、烏賊、蟹は入れない。伊勢海老は入れてもよい。
４．スープは小魚でとる（この小魚の種類も決められている）

５．強火で10～15分で仕上げる（長時間煮て魚のえぐみが出るのを避けるため）

６．フェンネルは必ず入れる。

日本で一般にブイヤベースと言われるものとは、結構違いますね。
実は、憲章はともかく、マルセイユで名物名物とブイヤベースを食べた日本人が結構閉口するってのは知っていたんですけどｗ

さて、憲章や本格レシピに従うと、えっらい縁遠い（最寄駅からバス20分で停留所から徒歩10分くらい）ので、何とか最寄駅から徒歩10分未満にしてみましたよ！

１．玉ねぎ１つと熟したトマト１つを粗微塵にして、ニンニク２片の薄切りと一緒に、オリーブ油大サジ４で弱火で炒める。
２．玉ねぎが茶色にならない程度のキツネ色になったら、ぶつ切りのイカや海老を加えて、イカ・海老は色づいたら取り出す。
３．貝を炒める。開いたら、白ワイン（カップ２）と水（カップ１）を加える。
４．沸騰したら、魚介コンソメ１、ブーケガルニ１を加えて、アクを取る。
５．アクが出なくなったら、ぶつ切りのアンコウ1パック分を加え、粉サフランをスープが黄色になるまで加える。
６．10分くらい煮て、アンコウが食べれそうなら、出来上がり。

これは、なぜかアンコウが安く売っていたので、外来種のウソ浅利と、なぜか安かったヤリイカ（以上合計1200円くらい）も買って、作ってみたのでした。
普通には、魚介コンソメと粉サフランはキッチンに常備していないと思うので、チキンコンソメと奮発してサフランを購入するとよいでしょう。チキンコンソメでも何とかなりますが、サフランがないと、魚介のトマト鍋となって、これはイタリアンのズッパディペッシェですって、その意味は魚のスープｗ
あるいは、安く売っているタイのアラとネギでさーっと出汁をとる方が、チキンコンソメよりいいと思います。

どうも、ミニマムな材料として、白身魚１尾と浅利1パック、玉ねぎと粉サフランは必要なようです（経験談）。残ったスープで冷や飯を煮てから、とろけるチーズをかけると、ムチャ美味なリゾットっぽいものになります。

念のためですが、赤身や青身の魚は全く合いませんし、ミックスシーフードも使わないように！
それと、↑のレシピは「家庭で簡単に」という趣旨なので、「二人でオシャレに」な場合には、スープを濾すとか、アイオリソースを作るとか、面倒な手間をかけて下さい。この場合は、焼いたフランスパンが合います。