(1) y = 0 を [i]式に代入

f(x) - f(0) - f(x - 0) = f(x)f(0)f(x - 0)
f(x) - f(0) - f(x) = f(x)f(0)f(x)
- f(0) = f(0)[{f(x)}^2]
f(0)[{f(x)}^2 + 1] = 0 …①

関数f(x)は区間(-a, a)にて微分可能より
少なくとも区間(-a, a)にて連続（x = ±a が漸近線の可能性もあるので）

したがって、f(x)は区間内のどのような実数xに対しても実数値をとる。

よって {f(x)}^2 ≧ 0

したがって {f(x)}^2 + 1 > 0

①式より f(0) = 0 …（解答終わり）

（別解）x = y = 0 を代入すると

f(0)[{f(0)}^2 + 1] = 0

が得られる。

上記解よりf(x)は区間内のどのような実数xに対しても実数値をとるので

f(0)も実数値

よって {f(0)}^2 + 1 > 0

以上より f(0) = 0 …（解答終わり）

(2) 導関数の定義より

f'(x) = lim"- h → 0"{f(x - h) - f(x) / -h}

- h が0に限りなく近づくとき、hは0に限りなく近づく。

また、[i]式より
f(x - h) - f(x)= - f(h){f(x)f(x - h) + 1}

よって

f'(x)

= lim"h → 0"[- f(h){f(x)f(x - h) + 1} / -h]

= lim"h → 0"{f(h) / h}[{f(x)f(x - h) + 1}]

= lim"h → 0"{f(h) - f(0) / h - 0}[{f(x)f(x - h) + 1}]（なぜなら(1)より f(0) = 0）

= f'(0)[{f(x)f(x - 0) + 1}]（微分係数の定義より）

= {f(x)}^2 + 1 ([ii]式、f'(0) = 1 より) …（解答終わり）

（別解）
関数f(x)は区間(-a, a)にて微分可能より

[i]式をyを固定して（定数とみなして）xで微分すると

f'(x) - f'(x - y) = f(y){f'(x)f(x - y) + f(x)f'(x - y)}

x - y = 0 (要するに、y = x)を代入すると

f'(y) - f'(0) = f(y){f'(y)f(0) + f(y)f'(0)}

f'(y) - 1 = f(y)f(y) （f(0) = 0, f'(0) = 1）

f'(y) = {f(y)}^2 + 1

よって、f'(x) = {f(x)}^2 + 1 …（解答終わり）