(3) (2)より f'(x) = {f(x)}^2 + 1
関数f(x)は微分可能よりf'(x)も微分可能

f''(x)
= 2f(x)f'(x)
= 2f(x)[{f(x)}^2 + 1] …②

ここで、x > 0 の範囲で考える。

f'(x) = {f(x)}^2 + 1 > 0 より

f(x)は単調増加する。f(x) > f(0) = 0

つまり f(x) > 0

②式より、 f''(x) > 0

よってf'(x)も単調増加する。f'(x) > f'(0) = 1

f(0) = 0, f'(x) > 1 より

f(x) > x

ここで、

g(x) = f(x) - x - (1/3)x^3 - (2/15)x^5 - (5/126)x^7

とおいて、g(x) > 0 を示せば、題意が示せる。

g(x)をxで微分

g'(x)

= f'(x) -1 - x^2 - (2/3)x^4 - (5/18)x^6

= {f(x)}^2 - x^2 - (2/3)x^4 - (5/18)x^6

さらに微分

g''(x)

= 2f(x)f'(x) - 2x - (8/3)x^3 - (5/3)x^5

さらに微分

g'''(x)

= 2{f'(x)}^2 + 2f(x)f''(x) - 2 - 8x^2 - (25/3)x^4

= 2[2{f(x)}^2 + f'(x)]f'(x) - 2 - 8x^2 - (25/3)x^4

= 2[3{f(x)}^2 + 1][{f(x)}^2 + 1] - 2 - 8x^2 - (25/3)x^4

> 2[3x^2 + 1][x^2 + 1] - 2 - 8x^2 - (25/3)x^4 （f(x) > x より）

= (5/3)x^4 > 0

よって g''(x)は単調増加

g''(x) > g''(0) = 2f(0)f'(0) = 0

よって g'(x)は単調増加

g'(x) > g'(0) = {f(0)}^2 = 0

よって g(x)は単調増加

g(x) > g(0) = f(0) = 0

以上より

x > 0 のとき f(x) > x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + (5/126)x^7 である。

ここで、x を - x で置き換えると、- x > 0 より x < 0

つまり、x < 0 のとき f(- x) > - x + (1/3)(- x)^3 + (2/15)(- x)^5 + (5/126)(- x)^7 である。

整理して f(- x) > - {x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + (5/126)x^7}

ここで、[i]式より x = 0 を代入すると

f(0) - f(y) - f(0 - y) = f(0)f(y)f(0 - y)

f(-y) = - f(y)

よってf(x)は奇関数である。

- f(x) > - {x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + (5/126)x^7}
f(x) < x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + (5/126)x^7

以上より
x > 0 のとき f(x) > x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + (5/126)x^7
x < 0 のとき f(x) < x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + (5/126)x^7

が証明できた。…（解答終わり）

＜余談＞

この問題は f(x) = tanx がモデル

(tanx)' = 1 / (cosx)^2 = (tanx)^2 + 1

tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)

- tan(α - β) = - (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)

両辺に tanα - tanβ を足すと

tanα - tanβ - tan(α - β)
= tanα - tanβ - (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
= tanαtanβ(tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
= tanαtanβtan(α - β)

また、0 < x (< π/2) の範囲では sinx < x < tanx

問題中の実数aの範囲は 0 < a ≦ π/2